2.5.4. Физическая интерпретация решений волнового уравнения
Выясним физический смысл решения (2.34), которое представим так:
12
,,u x t u u
1
,u h x a t
2
.u g x at
Если
0,g x at
то
1
,.u x t u h x at
При фиксированном
значении t график функции
u h x at
является формой колеблющей
струны в момент времени t.
Для точки
0
x
при
0t
отклонение выразится формулой
00
,0 .u x h x
Предположим, что по оси Ox из положения
0
x
движется
точка в положительном направлении этой оси со скоростью
a
(
a
–
параметр, входящий в уравнение (2.32) и функцию (2.34)). Закон этого
движения выражается формулой
0
.x x at
Так как в этом случае
0
,x at x
то через момент времени t для точки x получаем отклонение
00
,0 .u h x at h x u x
Это значит, что отклонение для точки x
через момент времени t будет тем же, что и для точки
0
x
в момент
0.t
Рис. 2.3
Следовательно, если мысленно перемещаться вдоль оси Ox в
положительном направлении этой оси с постоянной скоростью
,a
то
отклонение струны все время будет казаться постоянным.
Построим графики функции
1
u h x at
при различных значениях t:
1 2 3
t t t
(рис. 2.3). Каждый последующий из них получается сдвигом
предыдущего вдоль оси Ox на определенную величину. Если эти рисунки
по очереди проектировать на неподвижный экран, то первый график
«побежит» вправо. Процесс передвижения отклонения вдоль прямой, на
которой находилась струна в положении равновесия, называется волной.
Скорость распространения волны равна
,a
где
a
определяется формулой
,
T
a
xy
и входит в уравнение (2.32). Волна распространяется в
O
u
x
t = t
1
O
u
x
t = t
2
O
u
x
t = t
3
положительном направлении оси Ox. Явление, описываемое функцией
1
,u h x at
называется распространением прямой волны.
Второе слагаемое формулы (2.34), т. е. функция
2
,u g x at
представляет аналогичный процесс, но только волна будет
распространяться влево (в отрицательном направлении оси Ox) с той же
скоростью
.a
Явление, описываемое функцией
2
,u g x at
называется
распространением обратной волны.
Следовательно, решение (2.34) представляет сумму прямой и
обратных волн. Отсюда вытекает следующий графический способ
построения формы струны в любой момент времени t. Строим графики
функций
1
,u h x
2
,u g x
изображающие прямую и обратную волны в
начальный момент времени
0.t
Не изменяя формы построенных
графиков, передвигаем их со скоростью
a
вдоль оси Ox: первый – вправо,
второй – влево. Тогда суперпозиция (алгебраическая сумма) сдвинутых
графиков дает положение струны в текущий момент времени.
